Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông (Miễn phí)

Cho tam giác ABC sở hữu thân phụ góc nhọn nội tiếp lối tròn trặn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến bên trên B và C tách nhau bên trên M, AM tách (O) bên trên điểm loại nhì D. Gọi E là trung diểm củ đoạn AD, EC tách (O) bên trên điẻm loại nhì F. Chứng minh:

a, Tứ giác OEBM là tứ giác nội tiếp

b, $M{B}^2=MA.MB$

c, $\widehat{BFC}=\widehat{MOC}$

d, BF tuy nhiên song AM

Cho tam giác ABC nhọn, sở hữu H là trực tâm, nội tiếp lối tròn trặn tâm O 2 lần bán kính AM = 2R

a, Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành

b, Gọi N là vấn đề đối xứng của M qua chuyện AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được nhập một lối tròn

c, Gọi E là vấn đề đối xứng của M qua chuyện AC. Chứng minh thân phụ điểm N, H, E trực tiếp hàng

d, Giả sử AB = R$\sqrt{3}$. Tính diện tích S phần công cộng của lối tròn trặn (O) và lối tròn trặn nước ngoài tiếp tứ giác AHBN

Cho tam giác ABC sở hữu hai tuyến đường cao BE, CF tách nhau bên trên H. Gọi E' là vấn đề đối xứng H qua chuyện AC, F' là vấn đề đối xứng H qua chuyện AB. Chứng minh:

a, Tứ giác BCE'F' nội tiếp lối tròn trặn (O)

b, Năm điểm A, F', B, C, E' nằm trong phụ thuộc một lối tròn

c, AO và EF vuông góc nhau

d, Khi A điều khiển xe trên (O) thì nửa đường kính lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác AEF ko đổi

Cho lối tròn trặn (O) điểm M ở ngoài lối tròn trặn (O). Đường trực tiếp MO tách (O) bên trên E và F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm trong lòng nhì điểm M và B, A và C ở không giống phía so với đường thẳng liền mạch MO)

a, Chứng minh MA. MB = ME.MF

b, Gọi H là hình chiêu vuông góc của điểm c lên đuờng trực tiếp MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp

c, Trên nửa mặt mũi bằng bờ OM sở hữu chứa chấp điểm A, vẽ nửa lối tròn trặn 2 lần bán kính MF; nửa lối tròn trặn này tách tiếp tuyến bên trên E của (O) ở K. Gọi S là kí thác điểm của hai tuyến đường trực tiếp CO và KF. Chứng minh những đường thẳng liền mạch MS và KC vuông góc nhau

d, Gọi P và Q thứu tự là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp những tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh thân phụ điểm P, Q, T trực tiếp hàng

Cho lối tròn trặn (O) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ nhì tiếp tuyến MA, MB đển (O) (A, B là những tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) cho tới (O). Gọi K là trung điểm của NP

a, Cho lối tròn trặn (O) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ hai

b, Chứng minh tia KM là phân giác của góc $\widehat{AKB}$

c, Gọi Q là kí thác điểm loại nhì của BK với (O). Chứng minh AQ song tuy nhiên NP

d, Gọi H là kí thác điểm của AB và MO. Chứng minh: MA² = MH.MO = MN.MP

e, Chứng minh tư điểm N, H, O, P nằm trong phụ thuộc một lối tròn 

Cho lối tròn trặn (O) và một thừng BC thắt chặt và cố định ko trải qua O. Trên tia đối của tia BC lấy một điểm A bất kì. Vẽ những tiếp tuyến AM, AN cho tới (O) (M, N là những tiếp điểm). MN tách những đưòng AO và BC thứu tự ở H và K. Gọi I là trung điểm của BC

a, Chứng minh: AH.AO = AB.AC = $M{A}^2$

b, Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp

c, Vẽ thừng MP tuy nhiên song với BC. Chứng minh N, I, Phường trực tiếp hàng

d, Khi A địa hình bên trên tia song của tia BC, chứng tỏ trọng tâm tam giác MBC điều khiển xe trên một lối tròn trặn cố định